# Kruskal 算法
假设 G=(V,E) 是连通图，将 G 中的边按权值从小到大的顺序排列
- 将 n 个顶点看成 n 个集合
- 按权值从大到小的顺序选择边，所选边应满足两个顶点不在同一个顶点集合内，即加入此边后不会在生成树中产生回路，将该边放到生成树边的集合中。同时将该边的两个顶点所在的顶点集合合并。
- 重复 2，直到所有的顶点都在同一个顶点集合内。
# 并查集
- Make_Set (x) 把每一个元素初始化为一个集合
初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。 - Find_Set (x) 查找一个元素所在的集合
查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图 - Union (x,y) 合并 x,y 所在的两个集合
合并两个不相交集合操作很简单：
利用 Find_Set 找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。
# 优化
- Find_Set (x) 时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次 Find_Set (x) 都是 O (n) 的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过 "递推" 找到祖先节点后，"回溯" 的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次 Find_Set (x) 时复杂度就变成 O (1) 了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。 - Union (x,y) 时 按高度合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。
int father[MAX]; /* father [x] 表示 x 的父节点 */ | |
int rank[MAX]; /* rank [x] 表示 x 的高度 */ | |
/* 初始化集合 */ | |
void Make_Set(int x) | |
{ | |
father[x] = x; // 根据实际情况指定的父节点可变化 | |
rank[x] = 0; // 根据实际情况初始化高度也有所变化 | |
} | |
/* 非递归 Make_Set*/ | |
// void Make_Set(int x) | |
// { | |
// father[x] = -1; | |
// rank[x] = 0; | |
// } | |
/* 查找 x 元素所在的集合，回溯时压缩路径 */ | |
int Find_Set(int x) | |
{ | |
if (x != father[x]) | |
{ | |
father[x] = Find_Set(father[x]); // 这个回溯时的压缩路径是精华 | |
} | |
return father[x]; | |
} | |
/* 非递归 Find_Set*/ | |
// int Find_Set(int x) | |
// { | |
// while (father[x] != -1) | |
// { | |
// x = father[x]; | |
// } | |
// return x; | |
// } | |
/* | |
按高度合并 x,y 所在的集合 | |
下面的那个 if else 结构不是绝对的，具体根据情况变化 | |
但是，宗旨是不变的即，按高度合并，实时更新高度。 | |
*/ | |
void Union(int x, int y) | |
{ | |
x = Find_Set(x); | |
y = Find_Set(y); | |
if (x == y) | |
return; | |
if (rank[x] > rank[y]) | |
{ | |
father[y] = x; | |
} | |
else | |
{ | |
if (rank[x] == rank[y]) | |
{ | |
rank[y]++; | |
} | |
father[x] = y; | |
} | |
} |
# 题目
It is not easy to identify all the suspects when a student is recognized as a suspect. Your job is to write a program which finds all the suspects.
Input
The input file contains several cases. Each test case begins with two integers n and m in a line, where n is the number of students, and m is the number of groups. You may assume that 0 < n <= 30000 and 0 <= m <= 500. Every student is numbered by a unique integer between 0 and n−1, and initially student 0 is recognized as a suspect in all the cases. This line is followed by m member lists of the groups, one line per group. Each line begins with an integer k by itself representing the number of members in the group. Following the number of members, there are k integers representing the students in this group. All the integers in a line are separated by at least one space.
A case with n = 0 and m = 0 indicates the end of the input, and need not be processed.
Output
For each case, output the number of suspects in one line.
Sample Input & Output
100 4 | |
2 1 2 | |
5 10 13 11 12 14 | |
2 0 1 | |
2 99 2 | |
4 | |
200 2 | |
1 5 | |
5 1 2 3 4 5 | |
1 | |
1 0 | |
1 | |
0 0 |
# 递归版本
#include <iostream> | |
using namespace std; | |
int n, m, i, j; | |
int father[30005], num[30005]; | |
void makeSet(int n) | |
{ | |
for (i = 0; i < n; i++) | |
{ | |
father[i] = i; // 使用本身做根 | |
num[i] = 1; | |
} | |
} | |
int findSet(int x) | |
{ | |
if (father[x] != x) // 合并后的树的根是不变的 | |
{ | |
father[x] = findSet(father[x]); | |
} | |
return father[x]; | |
} | |
void Union(int a, int b) | |
{ | |
int x = findSet(a); | |
int y = findSet(b); | |
if (x == y) | |
{ | |
return; | |
} | |
if (num[x] <= num[y]) | |
{ | |
father[x] = y; | |
num[y] += num[x]; | |
} | |
else | |
{ | |
father[y] = x; | |
num[x] += num[y]; | |
} | |
} | |
int main() | |
{ | |
while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF && n != 0) | |
{ | |
makeSet(n); | |
for (i = 0; i < m; i++) | |
{ | |
int count, first, b; | |
scanf("%d %d", &count, &first); | |
for (j = 1; j < count; j++) | |
{ | |
scanf("%d", &b); | |
Union(first, b); | |
} | |
} | |
printf("%d\n", num[findSet(0)]); | |
} | |
return 0; | |
} |
并查集 -- 学习详解
